Uma forma geométrica que não se repete quando revestida

Relatório de 23 de março de 2023

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por Bob Yirka, Phys.org

Um quarteto de matemáticos da Universidade de Yorkshire, da Universidade de Cambridge, da Universidade de Waterloo e da Universidade de Arkansas descobriu uma forma geométrica 2D que não se repete quando ladrilhada. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan e Chaim Goodman-Strauss escreveram um artigo descrevendo como descobriram a forma única e possíveis usos para ela. O artigo completo está disponível no servidor de pré-impressão arXiv.

Quando as pessoas ladrilham seus pisos, elas tendem a usar formas geométricas simples que se prestam a padrões repetidos, como quadrados ou triângulos. Às vezes, porém, as pessoas querem padrões que não se repitam, mas que representam um desafio se os mesmos tipos de forma forem usados. Nesse novo esforço, a equipe de pesquisa descobriu uma única forma geométrica que, se usada para ladrilhos, não produzirá padrões repetidos.

Em seu cenário, os pesquisadores observaram que o ladrilho se refere ao encaixe de formas de modo que não haja sobreposições ou lacunas. O ladrilho que não possui padrões repetidos é conhecido como ladrilho aperiódico e geralmente é obtido usando várias formas de ladrilhos. Por muitos anos, os matemáticos estudaram a ideia de criar formas que pudessem ser usadas para criar uma variedade infinita de padrões quando ladrilhadas.

Uma das primeiras tentativas resultou em um conjunto de 20.426 peças. Seguiu-se o desenvolvimento das telhas Penrose, em 1974, que vêm em conjuntos de dois losangos de formas diferentes. Desde aquela época, os matemáticos continuaram a procurar o que veio a ser conhecido como a forma de "einstein" - uma única forma que poderia ser usada para ladrilhos aperiódicos por si só.

Notavelmente, o nome vem da frase "uma pedra" em alemão, não do famoso físico. Neste novo esforço, o grupo de pesquisa afirma ter encontrado a indescritível forma de einstein e a provou matematicamente.

A forma tem 13 lados e a equipe se refere a ela simplesmente como "o chapéu". Eles descobriram primeiro reduzindo as possibilidades usando um computador e depois estudando manualmente os conjuntos menores resultantes. Assim que tiveram o que acreditavam ser uma boa possibilidade, eles a testaram usando um programa de software combinatório – e em seguida provaram que a forma era aperiódica usando um argumento de incomensurabilidade geométrica. Os pesquisadores encerram sugerindo que a aplicação mais provável do chapéu é nas artes.

Mais Informações: David Smith et al, An aperiodic monotile, arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798

Informações do jornal:arXiv

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