Embalar cinco laranjas para presente enganou as melhores mentes em matemática por gerações

O envolvimento perfeito de objetos esféricos parece trivial, mas é uma tarefa que tem intrigado os matemáticos há séculos

"Antigamente, só recebíamos laranjas de presente - e ficávamos felizes com isso!" Esta é uma frase que você às vezes ouve quando uma pessoa mais velha critica as massas luxuosas de presentes que as crianças de hoje recebem. O que eles raramente mencionam é o embrulho de presente. Digamos que você queira dar cinco laranjas de presente: como você organizaria as frutas para que ocupassem o mínimo de espaço e papel de embrulho possível?

Acontece que há muita matemática por trás dessa questão aparentemente inócua. Afinal, foram necessários mais de 400 anos para provar algo que os comerciantes de frutas já sabiam desde tempos imemoriais: que o empilhamento ideal de bolas infinitas no espaço tridimensional é obtido ao organizá-las em forma de pirâmide. Uma solução verificada para esse quebra-cabeça, conhecida como conjectura de Kepler, não foi publicada até 2017. A situação é bem diferente quando se considera apenas um número finito de objetos.

Surpreendentemente, os matemáticos não abordaram o último tipo de problema até o final do século XIX. O geômetra norueguês Axel Thue foi o primeiro a estudar o arranjo ideal de um número finito de círculos bidimensionais em 1892. Avanços importantes no campo não aconteceram até as décadas seguintes, quando o matemático húngaro László Fejes Tóth abordou o assunto.

Para ter uma ideia melhor do problema, é útil primeiro considerar um caso bidimensional simplificado. Por exemplo, podemos tentar organizar várias moedas do mesmo tamanho da maneira mais econômica possível. Para fazer isso, nós os contornamos com um pedaço de barbante, que puxamos bem juntos, e calculamos a área que o barbante envolve. Para n = 2 moedas, o arranjo ótimo é rapidamente encontrado: nós as colocamos de forma que elas se toquem. A corda mais curta que envolve ambas as moedas com raio r então tem um comprimento de (4 + 2π)r.

Este comprimento é melhor calculado seção por seção: Adicione a parte reta da corda (4 xr) mais as áreas redondas que envolvem um círculo no total (2πr). A corda abrange uma área total de (4 + π)r2. Nesse caso, obviamente não há mais maneira de economizar espaço para organizar as moedas.

Por outro lado, se alguém tem três moedas disponíveis, de repente há dois arranjos diferentes que parecem economizar espaço: alguém as alinha lado a lado ou as coloca ao longo dos cantos de um triângulo equilátero. No primeiro caso, o barbante teria o formato de uma salsicha, por isso é chamado em matemática de pacote de "linguiça". O segundo caso é chamado de pacote de "pizza" pelos especialistas. Mas qual arranjo economiza mais espaço: embalagem de salsicha ou embalagem de pizza?

Acontece que o pacote de pizza é melhor. O comprimento desta corda é (6 + 2π)r, e a área coberta é correspondentemente (6 + √ 3 + π)r2, enquanto a corda do pacote de salsicha é (8 + 2π)r de comprimento e inclui uma área de ( 8 + π)r2. Se você olhar de perto, essa diferença também pode ser vista diretamente nas fotos. Os espaços entre as moedas no arranjo de salsichas são maiores do que no pacote de pizza.

De fato, uma fórmula geral pode ser fornecida para o comprimento necessário da corda e a área confinada. Se alguém organizar n moedas em forma de salsicha, precisará de uma corda de comprimento 4(n – 1 + 2π)r, que inclua uma área de 4(n – 1)r2 + πr2 . Por outro lado, se as moedas forem dispostas ao longo de uma grade triangular cuja forma se assemelhe tanto quanto possível a um hexágono regular, tudo o que é necessário é uma corda de comprimento 2(n + π)r envolvendo uma área de (2n + √ 3(n – 2) + π)r2.

Assim, mostramos que a embalagem de pizza é mais eficiente em termos de espaço do que a forma de salsicha para qualquer número de n círculos. Mas é realmente sempre ideal? Determinar isso é uma tarefa muito mais difícil. Afinal, pode haver um arranjo completamente caótico de círculos que ocupe ainda menos área. Eliminar tais casos é extremamente difícil. É aqui que entra o matemático húngaro László Fejes Tóth. Em 1975, ele conjecturou que o empacotamento ótimo de n círculos é um arranjo em uma rede triangular que forma um hexágono o mais regular possível.