Revista Quanta

5 de junho de 2023

Maggie Chiang para a Revista Quanta

Escritor Colaborador

5 de junho de 2023

Os matemáticos se alegram quando provam que coisas aparentemente impossíveis existem. É o caso de uma nova prova publicada online em março por Cédric Pilatte, aluno do primeiro ano de pós-graduação da Universidade de Oxford.

Pilatte provou que é possível criar um conjunto — uma coleção de números — que satisfaça duas propriedades aparentemente incompatíveis. A primeira é que dois pares de números no conjunto não somam o mesmo total. Por exemplo, some quaisquer dois números em {1, 3, 5, 11} e você sempre obterá um número único. É fácil construir pequenos conjuntos "Sidon" como este, mas à medida que o número de elementos aumenta, também aumenta a probabilidade de que as somas coincidam, destruindo a característica Sidon do conjunto.

O segundo requisito é que o conjunto deve ser muito grande. Deve ser infinito e você deve ser capaz de gerar qualquer número suficientemente grande somando no máximo três números no conjunto. Essa propriedade, que torna o conjunto uma "base assintótica de ordem 3", requer um conjunto grande e denso de números. "Eles estão puxando em direções opostas", disse Pilatte. "Os conjuntos de Sidon são restritos a serem pequenos e uma base assintótica é restrita a ser grande. Não era óbvio que poderia funcionar."

A questão de saber se tal conjunto existe persiste há décadas, desde que foi colocada pelo prolífico matemático húngaro Paul Erdős e dois colaboradores em 1993. O fascínio de Erdős pelos conjuntos de Sidon pode ser atribuído a uma conversa que ele teve em 1932 com seu inventor Simon Sidon, que na época estava interessado em entender a taxa de crescimento desses conjuntos. (Erdős mais tarde descreveria Sidon como "mais louco do que o matemático médio", o que ele quase certamente quis dizer como um elogio.)

Os conjuntos de Sidon surgem em uma variedade de contextos matemáticos, incluindo teoria dos números, combinatória, análise harmônica e criptografia, mas a simples questão de quão grande eles podem chegar tem sido um mistério duradouro que Erdős ponderou durante grande parte de sua carreira. Erdős percebeu desde o início que os conjuntos de Sidon são extremamente difíceis de escalar. Em 1941, ele e outro matemático provaram que o maior conjunto possível de Sidon cujos membros são todos menores que algum número inteiro N tem que ser menor que a raiz quadrada de N mais um termo que cresce proporcionalmente à quarta raiz de N. (Em 1969, Bernt Lindström mostraria que é menor que $latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$, e em 2021 outro grupo de matemáticos estreitou o limite para $latex \sqrt{N}+0,998 \ vezes \sqrt[4]{N}$.) Os conjuntos de Sidon, em outras palavras, devem ser esparsos.

Há muito se sabe que um conjunto de Sidon não pode ser uma base assintótica de ordem 2, onde qualquer número inteiro pode ser expresso como a soma de no máximo dois números. (Os números ímpares, por exemplo, formam a base da ordem 2.) Como Pilatte explicou, isso é tão simples de mostrar que os matemáticos não se deram ao trabalho de escrevê-lo: "Que a ordem 2 é impossível provavelmente já era conhecida muito antes de ser foi explicitamente escrito na literatura." Ele explicou que isso ocorre porque "as sequências de Sidon não podem exceder uma certa densidade, enquanto as bases assintóticas de ordem 2 são sempre mais densas que esse limite, portanto as duas propriedades não podem se manter ao mesmo tempo".

Acreditava-se geralmente que uma base assintótica de ordem 3 poderia ser construída a partir de um conjunto de Sidon, mas provar isso era outra questão. "As pessoas acreditavam que isso deveria ser verdade", disse o conselheiro de Pilatte, James Maynard. "Mas havia uma dificuldade com as técnicas que estávamos usando."

Algum progresso foi feito antes de Pilatte aceitar o desafio. Em 2010, o matemático húngaro Sándor Kiss mostrou que um conjunto de Sidon pode ser uma base assintótica de ordem 5 — significando que qualquer inteiro suficientemente grande pode ser escrito como a soma de no máximo cinco elementos do conjunto — e em 2013 Kiss e dois de seus colegas provaram a conjectura de uma base assintótica de ordem 4. Dois anos depois, o matemático espanhol Javier Cilleruelo levou esses resultados um passo adiante ao provar que é possível construir um conjunto de Sidon que é uma base assintótica de ordem 3 + e, significando que qualquer inteiro N suficientemente grande pode ser escrito como a soma de quatro membros do conjunto de Sidon, com um deles menor que Ne para e positivo arbitrariamente pequeno.